ARTISTA DEL ESCRITO
JOSÉ NIVIA MONTOYA
LAS TRES GEOMETRÍAS CLÁSICAS
LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA O LA GEMETRÍA PLANA
El primer texto axiomático con fundamento lógico, escrito por el hombre, fue realizado por Euclides. Nació alrededor del año 325 AC y murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. Su trabajo se fundamentó en cinco axiomas a partir de los cuales elaboró trece manuscritos en papiro, que los llamó libros, equivalentes en la actualidad a trece capítulos, que los dividió en seis partes, dedicados a la geometría plana, tres a la geometría del espacio, cuatro a los que en su época se llamaban, los números inconmensurables, hoy números irracionales y tres libros dedicados a operaciones aritméticas con segmentos.
Posteriormente, David Hilbert, en el año 1899 publica una obra sobre la geometría Euclidiana con el nombre, Fundamentos de la Geometría, construida con base a un desarrollo axiomático, enunciando veintiún postulados a partir de conceptos intuitivos como son punto, línea y plano, que Euclides siempre intentó definir, lo que conducía a errores de contradicción y enunciados cíclicos. En tanto, lo que le confirió popularidad a este libro y lo hizo célebre, fue el nombre de Hilbert, mucho más allá del círculo de sus colegas, que fue el nuevo giro metodológico dado a la idea de axiomática, en opinión de Bernays, para el año de 1922 , además de otros grandes matemáticos de su época.
Pero no es el desarrollo axiomático de la geometría plana, la que crea controversia por algo así durante aproximados 2000 años, desde que Euclides sembró la simiente de semejante monumento científico. Es el quinto postulado de esta geometría la que devanó el cerebro de geómetras, matemáticos, lógicos y filósofos de cada acontecer en este período de tiempo, en especial por intentar construir otra estructura axiomática, donde el quinto postulado tuviera otra connotación válida para estudiar sus consecuencias. Sin embargo el oscurantismo medieval ayudó al retraso en el tiempo, para encontrar la solución. Euclides enunció su quinto postulado con el siguiente juicio: “Si dos rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquel lado en que esta suma es inferior a dos ánulos rectos”.
Posteriormente en la geometría de Hilbert se interpretó en forma más sencilla: “Por un punto en un plano, exterior a una recta que pertenece al mismo plano, se puede trazar una y solo una recta paralela a dicha recta, en dicho plano”.
Este axioma, bien hace posible estudiar todas las propiedades de las figuras geométricas construidas en él a partir de puntos, rectas, semirrectas y segmentos rectilíneos abiertos o cerrados y líneas curvas regulares.
LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI O LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
El primer texto axiomático con fundamento lógico, escrito por el hombre, fue realizado por Euclides. Nació alrededor del año 325 AC y murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. Su trabajo se fundamentó en cinco axiomas a partir de los cuales elaboró trece manuscritos en papiro, que los llamó libros, equivalentes en la actualidad a trece capítulos, que los dividió en seis partes, dedicados a la geometría plana, tres a la geometría del espacio, cuatro a los que en su época se llamaban, los números inconmensurables, hoy números irracionales y tres libros dedicados a operaciones aritméticas con segmentos.
Posteriormente, David Hilbert, en el año 1899 publica una obra sobre la geometría Euclidiana con el nombre, Fundamentos de la Geometría, construida con base a un desarrollo axiomático, enunciando veintiún postulados a partir de conceptos intuitivos como son punto, línea y plano, que Euclides siempre intentó definir, lo que conducía a errores de contradicción y enunciados cíclicos. En tanto, lo que le confirió popularidad a este libro y lo hizo célebre, fue el nombre de Hilbert, mucho más allá del círculo de sus colegas, que fue el nuevo giro metodológico dado a la idea de axiomática, en opinión de Bernays, para el año de 1922 , además de otros grandes matemáticos de su época.
Pero no es el desarrollo axiomático de la geometría plana, la que crea controversia por algo así durante aproximados 2000 años, desde que Euclides sembró la simiente de semejante monumento científico. Es el quinto postulado de esta geometría la que devanó el cerebro de geómetras, matemáticos, lógicos y filósofos de cada acontecer en este período de tiempo, en especial por intentar construir otra estructura axiomática, donde el quinto postulado tuviera otra connotación válida para estudiar sus consecuencias. Sin embargo el oscurantismo medieval ayudó al retraso en el tiempo, para encontrar la solución. Euclides enunció su quinto postulado con el siguiente juicio: “Si dos rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquel lado en que esta suma es inferior a dos ánulos rectos”.
Posteriormente en la geometría de Hilbert se interpretó en forma más sencilla: “Por un punto en un plano, exterior a una recta que pertenece al mismo plano, se puede trazar una y solo una recta paralela a dicha recta, en dicho plano”.
Este axioma, bien hace posible estudiar todas las propiedades de las figuras geométricas construidas en él a partir de puntos, rectas, semirrectas y segmentos rectilíneos abiertos o cerrados y líneas curvas regulares.
LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI O LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
Nicolái Ivánovich Lobachevski, nació en la ciudad de Nizhni Nóvgorod, Rusia, el 1 de diciembre de 1792 y murió el año de 156 en Kazán, Rusia. Estudió en la universidad de Kazán, de la cual fue rector por más de veinte años.
Maestro dedicado al estudio de la matemática, en especial a la geometría, me imagino que en una noche de desvelo después de haber reflexionado muchas veces sobre el quinto postulado de Euclides, se le encendió el bombillo de la creatividad, que todo ser humano normal posee. Habiendo analizado que el tipo de demostración errónea del axioma del paralelismo de Euclides más difundido era el de la sustitución por otro juicio equivalente. Sin embargo, fue por otro camino, habiendo intentado demostrar el axioma de las paralelas, advirtió que uno de ellos conducía a resultados inesperados. El proceso consistía en utilizar el método de demostración por oposición, que lo condujo a formular el enunciado del quinto postulado Euclídeo por contraposición, de la siguiente manera: “Por el punto exterior a una recta, en el plano, determinado por estos, se pueden trazar dos rectas que no cortan a la recta dada”.
Lobachevski dedujo que este postulado formaba un sistema lógico no contradictorio de teoremas capaces de construir la base de una nueva teoría científica, donde desaparece el concepto de recta euclidiana y el plano rectangular infinito, cuya convergencia es cero. Sobre la no contradicción de esta Geometría, trabajó Lobachevski, pero no fue hasta después de su muerte cuando el matemático italiano Eugenio Beltrami, da solución a este problema. Beltrami, destacado en el campo de la geometría diferencial y la física matemática, es el primero en demostrar la consistencia de la Geometría Hiperbólica a través de un modelo físico, la pseudoesfera. De hecho según Beltrami, las rectas para esta Geometría están representadas por las geodésicas en la pseudoesfera.
Sobre la pseudoesfera, las líneas geodésicas son de dos tipos: Curvas que parten del ecuador y suben hasta el infinito y curvas que rodean el cuello de la pseudoesfera. En la figuración, se observa como en esta superficie se cumple el quinto postulado de la Geometría Hiperbólica, pues dada una geodésica y un punto P exterior a ella, así por este pasan tres geodésicas, que no cortan a la primera. Entre estas tres se podrían dibujar infinitas más, es decir, hay infinitas paralelas. La prueba sobre la consistencia de la Geometría Hiperbólica la da por cierto en 1868 en su libro, Teoría Fundamental de Espacios de Curvatura Constante, más lo logra mediante la introducción de tres modelos de Geometría plana, no euclídea.
Si se mira en más detalle el enunciado del nuevo postulado y la comprobación de las geodésicas por Beltrami, conduce a la concepción de un plano divergente al infinito, donde las rectas que lo satisfacen son hipérbolas y toda curva divergente de curvatura constante. Por lo tanto, de ahí el nombre de geometría hiperbólica, ya que si el plano Euclídeo lo llenamos de infinitas hipérbolas, nos quedan dos haces de parte del plano Euclídeo de forma hiperbólica, cuyas hipérbolas divergen en su tendencia al infinito, por tal razón se le dio una curvatura negativa para diferenciarla de la euclídea y de la de Riemann.
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN O LA GEOMETRÍA ELÍPTICA
Bernhard Riemann a pesar de la complejidad de su geometría, el análisis fue menos complicado para su fundamentación, pues ya existían las bases de las geometrías Euclidiana e Hiperbólica. Riemann enunció el quinto postulado de Euclides, así: “Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela”.
Por consiguiente, tal postulado, lo condujo a una superficie elíptica convergente positiva cuando la superficie tiende al infinito. En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación, que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro punto. Más ciertamente este principio, da ideas locales a las magnitudes de ángulo, longitud de curvas y volumen. Ya entonces a partir de estas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales. Esta geometría, bien fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX.
IDEARIO FINAL
En cuanto a las tres geometrías en particular, todas surgen como convencionales, dando origen a la posibilidad de construir un número indeterminado de geometrías. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas, que varían de punto a punto, en especial las parametrizadas en el plano cartesiano en dos y tres dimensiones.
Y en resumen final, la figura geométrica plana, presenta la imagen más sencilla del fundamento de las tres geometrías, que a partir de Euclides se necesitaron aproximadamente 2000 años para construir sobre ellas, una estructura axiomática, similar a la del sabio griego en un plano. Modernamente la geometría hiperbólica y elíptica, tal como lo hizo Euclides se han llevado a tres dimensiones, complicando severamente a los estudiantes de matemáticas.
José Nivia Montoya;
Maestro de Colombia.
Fotografía del texto,
por Inspirito,
La creación de los mundos.
